Question

【題目】如圖，已知AB=12，點(diǎn)C、D在AB上，且AC=DB=2，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫(huà)等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點(diǎn)G，下列說(shuō)法中正確的有（ ）

①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G；

②四邊形AEFB的面積不變；

③EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4．

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°﹣∠EPA﹣∠FPB=90°，∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分．∵G為EF的中點(diǎn)，∴G也為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，∴G的運(yùn)行軌跡為△HCD的中位線MN．∵CD=12﹣2﹣2=8，∴MN=4，即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為4．故④EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4，正確；

∵G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，∴①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G，正確，∴①④正確．

連接PG，∵PG≠PF，∴△EFP的外接圓與AB相交，故②錯(cuò)誤；

∵點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止），易證∠EPF=90°，所以四邊形面積便是三個(gè)直角三角形的面積和，設(shè)cp=x，則四邊形面積S=，∴AP不斷增大，∴四邊形的面積S也會(huì)隨之變化，故③錯(cuò)誤．

故選B．