Question

【題目】已知,平分，點、、分別是射線、、上的動點（、、不與點重合），連接交射線于點，設.

（1）如圖1，若，則：

①的度數為

②當時， ，當時，

（2）如圖2，若，則是否存在這樣的的值，使得中有兩個想等的角？若存在，求出

Answer 1

【答案】（1）①24°，②108，54；（2）存在，x=42、24、33、123.

【解析】

（1）①運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得①∠ABO的度數；②根據∠ABO、∠BAD的度數以及△AOB的內角和，可得x的值；

（2）分兩種情況進行討論：AC在AB左側，AC在AB右側，分別根據三角形內角和定理以及直角的度數，可得x的值．

（1）如圖1，

①∵∠MON＝48°，OE平分∠MON，

∴∠AOB＝∠BON＝24°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO＝24°；

②當∠BAD＝∠ABD時，∠BAD＝24°，

∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，

∴∠OAC＝180°24°×3＝108°；

當∠BAD＝∠BDA時，∵∠ABO＝24°，

∴∠BAD＝78°，∠AOB＝24°，

∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，

∴∠OAC＝180°24°24°78°＝54°，

故答案為：①24°；②108，54；

（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON＝48°，OE平分∠MON，

∴∠AOB＝24°，∠ABO＝66°，

①當AC在AB左側時：

若∠BAD＝∠ABD＝66°，則∠OAC＝90°66°＝24°；

若∠BAD＝∠BDA＝（180°66°）＝57°，則∠OAC＝90°57°＝33°；

若∠ADB＝∠ABD＝66°，則∠BAD＝48°，故∠OAC＝90°48°＝42°；

②當AC在AB右側時：

∵∠ABE＝114°，且三角形的內角和為180°，

∴只有∠BAD＝∠BDA＝（180°114°）＝33°，則∠OAC＝90°＋33°＝123°．

綜上所述，當x＝24、33、42、123時，△ADB中有兩個相等的角．