Question

【題目】如圖，在矩形中，，點在直線上，與直線相交所得的銳角為60°.點在直線上，，直線，垂足為點且，以為直徑，在的左側作半圓，點是半圓上任一點.

發現：的最小值為_________，的最大值為__________，與直線的位置關系_________.

思考：矩形保持不動，半圓沿直線向左平移，當點落在邊上時，求半圓與矩形重合部分的周長和面積.

Answer 1

【答案】, 10 , ；,.

【解析】

發現：先依據勾股定理求得AO的長，然后由圓的性質可得到OM=3，當點M在AO上時，AM有最小值，當點M與點E重合時，AM有最大值，然后過點B作BG⊥l，垂足為G，接下來求得BG的長，從而可證明四邊形OBGF為平行四邊形，于是可得到OB與直線1的位置關系．
思考：連結OG，過點O作OH⊥EG，依據垂徑定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依據特殊銳角三角函數值可求得HE的長，從而得到EG的長，接下來求得∠EOG得度數，依據弧長公式可求得弧EG的長，利用扇形面積減去三角形面積即可得到面積.

解：發現：由題意可知OM=OF=3，AF=8，EF⊥l，
∴OA=．
當點M在線段OA上時，AM有最小值，最小值為=．
當點M與點E重合時，AM有最大值，最大值=．
如圖1所示：過點B作BG⊥l，垂足為G．

∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAG=30°．
∴GB=AB=3．
∴OF=BG=3，
又∵GB∥OF，
∴四邊形OBGF為平行四邊形，
∴OB∥FG，即OB∥l．

故答案為：，10，；

思考：如圖2所示：連結，過點作，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

弧的長，

∴半圓與矩形重合部分的周長，

∴

.