Question

【題目】如圖，在矩形中，點為原點，點的坐標為，點的坐標為，拋物線經過點、，與交于點．

備用圖

⑴求拋物線的函數解析式；

⑵點為線段上一個動點（不與點重合），點為線段上一個動點，，連接，設，的面積為．求關于的函數表達式；

⑶拋物線的頂點為，對稱軸為直線，當最大時，在直線上，是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請寫出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為，

【解析】

（1）直接利用待定系數法，即可求出解析式；

（2）根據特殊角的三角函數值，得到，過點作與點，則，然后根據面積公式，即可得到答案；

（3）由（2）可知，當時，取最大值，得到點Q的坐標，然后求出點D和點F的坐標，再根據平行四邊形的性質，有，然后列出等式，即可求出點M的坐標.

解：（1）經過、兩點

，解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2），，

，

∴，

，

過點作于點，則

∴，

；

（3）存在符合條件的點，理由如下：

由⑵得，，

∴當時，取最大值，此時，，

又∵點在拋物線上；

當時，，

的坐標為，的坐標為.

設的坐標為，則

∴當時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形.

由，

解得：或；

∴符合條件的點的坐標為：，.