Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．

（1）如圖1，當AB∥CB'時，設A'B'與CB相交于點D，求證：△A'CD是等邊三角形．

（2）若E為AC的中點，P為A'B'的中點，則EP的最大值是多少，這時旋轉角θ為多少度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）當AB∥CB′時，∠BCB′＝∠B＝∠B′＝30°，則∠A′CD＝90°﹣∠BCB′＝60°，∠A′DC＝∠BCB′+∠B′＝60°，可證：△A′CD是等邊三角形；

（2）連接CP，當E、C、P三點共線時，EP最長，根據圖形求出此時的旋轉角及EP的長．

（1）證明：∵AB∥CB′，

∴∠B＝∠BC B′＝30°，

∴∠BC A′＝90°﹣30°＝60°，

∵∠A′＝∠A＝60°，

∴△A′CD是等邊三角形；

（2）如圖，連接CP，當△ABC旋轉到E、C、P三點共線時，EP最長，

此時θ＝∠ACA1＝120°，

∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°，

設AC＝a，

∴A′C＝AC＝A′B′＝a，

∵AC中點為E，A′B′中點為P，∠A′CB′＝90°

∴CP＝A′B′＝a，EC＝a，

∴EP＝EC+CP＝a+a＝AC．