Question

【題目】如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F為DC延長線上一點，且∠CBF=∠CDB．

（1）求證：FB為⊙O的切線；

（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題（1）連接OB，由圓周角定理可得∠CBD=90°，再由圓所具有的性質及已知條件，可得∠OBF=90°；從而問題得證；

（2）先由垂徑定理求得BE的長，然后根據△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性質求得OF的長，則sinF即可求解．

試題解析：（1）連接OB．

∵CD是直徑，

∴∠CBD=90°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D，

又∠CBF=∠D，

∴∠CBF=∠OBD，

∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，

∴FB是圓的切線；

（2）∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，

∴BE=AB=4，

設圓的半徑是R，在直角△OEB中，根據勾股定理得：R2=（R﹣2）2+42，

解得：R=5，

∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，

∴△OBE∽△OBF，

∴OB2=OEOF，

∴OF=，

則在直角△OBF中，sinF=