Question

【題目】如圖,在中，，分別在邊上，，，則線段的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下圖，構造△ABC的外接圓，利用圓周角與圓心角的關系，求得∠AHF=30°，從而得到△AGH與△AGF是含有30°的直角三角形，進而得到三角形各邊長；然后證△AHE≌△ADE，在△AEH中利用余弦定理可求得AE長

如下圖，作△ABC的外接圓，圓心為點O，過點E作AB的垂線，交AB于點F，交于點G，反向延長EF交于點H，連接AG、BG、AH

∵∠ABE=∠BAE，EF⊥AB，

∴AF=BF=，點O在AB的垂直平分線上，即點O在GH上

∴GH是的直徑，點G是的中點

∴∠HAG=90°

∵∠C=60°

∴∠AHG=30°

∴∠AGH=60°

在Rt△AGF中，∵AF=

∴GF=1，AG=2

∴在Rt△AGH中，GH=4，AH=

∴AH=AD

設∠ABD=∠ADB=x

根據AB=AD和∠ABE=∠BAE可推導得：

∠BAD=180-2x，∠DAE=x-60，∠AEB=2x-60，∠ABE=∠BAE=120-x，∠EBC=2x-120

∴∠HAE=∠HAG－∠GAF-∠BAD－∠DAE=x-60

∴∠HAE=∠DAE

在△AHE與△ADE中

∴△AHE≌△ADE

∴EH=ED=1

∵EH=1，GF=1，HG=4，∴FE=2

∵AF=

∴在Rt△AEF中，AE=

故答案為：