Question

【題目】如圖，拋物線交軸于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）若點，求MA+MB的最小值，并求出此時點M的坐標．

（3）求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MA+MB的最小值為；；（3）△PBC面積的最大值為；P．

【解析】

（1）把A、C兩點坐標代入列方程組求出a、c的值，即可得答案；

（2）由點M坐標可知點M在直線y=2上，令y=0，可得出點B坐標，作點B關于直線的對稱點B′，可得B′坐標，連接BM、AB′，根據軸對稱的性質可得BM=B′M，可得MA+MB的最小值為AB′，利用勾股定理可求出AB′的長，根據A、B′坐標，利用待定系數法可得直線AB′的解析式，把y=2代入即可得點M坐標；

（3）過P作PQ軸交BC于Q，根據B、C坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，設，把m代入BC解析式可用m表示出PQ的長，根據S△PBC=PQ·OB可用m表示出△PBC的面積，根據二次函數的性質即可得答案．

（1）把A（﹣3，0），C，代入得，

解得：

∴拋物線的表達式為．

（2）∵，

∴點M在直線上，

令得

，

作點B關于直線的對稱點B′，

∴BM=B′M，

∴MA+MB的最小值為線段AB′的長度，

∵B（4，0），

∴B′(4，4)，

∴AB′，

∴MA+MB的最小值為，

設直線AB′的解析式為，

∵A（-3，0），B′（4，4），

∴，

解得，

∴直線AB′的解析式為，

當時，，

解得：，

∴．

（3）如圖，過P作PQ軸交BC于Q，

設直線BC的解析式為，

∵，C，

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為，

∵P在拋物線上，且在BC上方，

∴設，

∴，

∴，

∴S△PBC=PQ·OB=，

∵，

∴當時，S△PBC的最大值為，

當m=2時，，

∴P．