Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，為第一象限內拋物線上一點，的面積為3時，且，求點坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，、為拋物線上的點，且兩點關于拋物線對稱軸對稱，過作軸垂線交過點且平行于軸的直線于，交拋物線于，延長至，連接，，當線段時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)求出點C的坐標，利用待定系數法即可解決問題；
(2)如圖2中，作PH⊥AB于H，交BC于T．，作CE⊥PH于E，設P(，)．構建方程即可解決問題；
(3)如圖3中，作RM⊥DQ于M，連接EM．DH交AB于N．設D(n，)．首先證明△EDQ∽△HDE，推出∠HEQ=90°，由∠REH+∠RMH=180°，推出E、H、M、R四點共圓，推出∠ERH=∠EMH，推出tan∠ERH=tan∠EMD=，推出DM=(n-1)，推出QM=，由RM∥DE，可得，推出RM=，可得點R的坐標，把點R坐標代入，轉化為方程解決問題即可．

(1)對于拋物線，

令y=0，得到，解得或3，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=3，
∵∠ABC=45°，
∴OC=OB=3，
∴C(0，3)，把(0，3)代入得到，
∴拋物線的解析式為；
(2)如圖2中，作PH⊥AB于H，交BC于T，作CE⊥PH于E，設P(，)．

∵B(3，0)，C(0，3)，

設直線BC的解析式為，

把B(3，0)代入得：，

解得：，
∴直線BC的解析式為，
∴T，
∵

，
整理得：，
∴或2，
∵∠PCB＞45°，
∴，
∴點P的坐標為(1，4)；

(3)如圖3中，作RM⊥DQ于M，連接EM，DH交AB于N．設D(n，)．

∵D、E兩點關于拋物線對稱軸對稱，點P的坐標(1，4)，拋物線對稱軸為，
∴PQ∥DE∥軸，DQ⊥軸，
∴Q(n，4)，

∴DE=，DQ=，
∴，，
∴，
∵∠EDQ=∠EDH=90°，
∴△EDQ∽△HDE，
∴∠DEQ=∠EHD，
∵∠DEQ+∠EQD=90°，
∴∠EHD+∠EQD=90°，
∴∠HEQ=90°，
∵∠REH+∠RMH=180°，
∴E、H、M、R四點共圓，
∴∠ERH=∠EMH，
∴tan∠ERH=tan∠EMD=，
∴DM=，
∴QM=DQ-DM=，
∵RM⊥DQ，

∴RM∥DE，
∴，即，
∴RM=，
∴點R的坐標為，

即，

把點R坐標代入得到：

，
解得：，
∴點D的坐標為(，)．