Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，分別以AB，AC為邊向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，連接EF，點M是EF的中點，連接AM，則AM的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，過F作AE的平行線，交AM的延長線于H，則∠HFM=∠AEM，∠H=∠EAM，

∵點M是EF的中點，

∴FM=EM，

∴△FHM≌△EAM，

∴AE=FH=AC，AM=MH= AH，

∵四邊形ABCF是正方形，

∴AF=BA，

∵∠AFH+∠FAE=180°，∠CAB+∠HFA=180°，

∴∠AFH=∠BAC，

在△AFH和△BAC中，

，

∴△AFH≌△BAC（SAS），

∴AH=BC=2AM，

即AM= BC，

如圖，過A作AP⊥BC于P，

∵cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，

∴AP=AC×sin∠ACB=2× = ，CP= AC=1，∠BAP=45°=∠ABP，

∴BP=AP= ，

∴BC= +1，

∴AM= BC= ，

所以答案是： ．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和解直角三角形的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．