Question

【題目】如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A，B，C三點，在拋物線上找到一點D，使得∠DCB=∠ACO，則D點坐標為____________________.

Answer 1

【答案】（，），（-4，-5）

【解析】

求出點A、B、C的坐標，當D在x軸下方時，設直線CD與x軸交于點E，由于∠DCB=∠ACO．所以tan∠DCB=tan∠ACO，從而可求出E的坐標，再求出CE的直線解析式，聯立拋物線即可求出D的坐標，再由對稱性即可求出D在x軸上方時的坐標．

令y=0代入y=-x2-2x+3，

∴x=-3或x=1，

∴OA=1，OB=3，

令x=0代入y=-x2-2x+3，

∴y=3，

∴OC=3，

當點D在x軸下方時，

∴設直線CD與x軸交于點E，過點E作EG⊥CB于點G，

∵OB=OC，

∴∠CBO=45°，

∴BG=EG，OB=OC=3，

∴由勾股定理可知：BC=3，

設EG=x，

∴CG=3-x，

∵∠DCB=∠ACO．

∴tan∠DCB=tan∠ACO=，

∴，

∴x=，

∴BE=x=，

∴OE=OB-BE=，

∴E（-，0），

設CE的解析式為y=mx+n，交拋物線于點D2，

把C（0，3）和E（-，0）代入y=mx+n，

∴,解得：.

∴直線CE的解析式為：y=2x+3，

聯立

解得：x=-4或x=0，

∴D2的坐標為（-4，-5）

設點E關于BC的對稱點為F，

連接FB，

∴∠FBC=45°，

∴FB⊥OB，

∴FB=BE=，

∴F（-3，）

設CF的解析式為y=ax+b，

把C（0，3）和（-3，）代入y=ax+b

解得：，

∴直線CF的解析式為：y=x+3，

聯立

解得：x=0或x=-

∴D1的坐標為（-，）

故答案為：（-，）或（-4，-5）