Question

【題目】如圖，AB切⊙O與點A，BE切⊙O于點E，連接AO并延長交⊙O于點C，交BE的延長線于點D，連接EC，若AD＝8，tan∠DEC＝，則CD＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接OB，OE，根據切線的性質得到AB＝EB，根據全等三角形的性質得到∠AOB＝∠EOB，推出CE∥OB，得到∠DEC＝∠EBO，求得∠DEC＝∠ABO，得到tan∠ABO＝，設OA＝x，AB＝2x，根據相似三角形的性質得到DE＝4，根據勾股定理即可得到結論．

解：連接OB，OE，

∵AB切⊙O與點A，BE切⊙O于點E，

∴AB＝EB，

在△ABO與△EBO中，

∴△ABO≌△EBO（SSS），

∴∠AOB＝∠EOB，

∴∠AOB＝∠AOE，

∵∠COE=∠AOE，

∴∠AOB＝∠ACE，

∴CE∥OB，

∴∠DEC＝∠EBO，

∴∠DEC＝∠ABO，

∵tan∠DEC＝，

∴tan∠ABO＝，

設OA＝x，AB＝2x，

∴OE＝x，

∵∠OED＝∠A＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEO∽△DAB，

∴，

∵AD＝8，

∴DE＝4，

∵OE2+DE2＝OD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴CD＝8﹣6＝2．

故答案為：2．