Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，與MN的交點即為點P，此時PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據勾股定理即可得出答案．

解：作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，與MN的交點即為點P，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，

∵A′點為點A關于直線MN的對稱點，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B為的中點， ∴，

∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2，

∴Rt△A′OB中，A′B=，

即PA+PB的最小值為．

故答案為：．