Question

【題目】已知，二次三項式﹣x2+2x+3．

（1）關于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m為整數）的根為有理數，求m的值；

（2）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+n分別交x，y軸于點A，B，若函數y＝﹣x2+2|x|+3的圖象與線段AB只有一個交點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m＝7；（2）n≤﹣6或3≤n＜6．

【解析】

（1）方程化為（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，由已知可得m﹣4＝±3，解得m＝7或m＝1（舍）；

（2）由已知可得A（，0），B（0，n），根據題意可得，當≤﹣3，n＜3時，n≤﹣6；當＞﹣3，n≥3時，n≥3；當＞3，n≤3時，n不存在；當＜3，n≥3時，3≤n＜6；綜上所述：n≤﹣6或3≤n＜6．

解：（1）方程化為（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，

由已知可得m≠1，

△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，

∵m為整數，方程的根為有理數，

∴m﹣4＝±3，

∴m＝7或m＝1（舍）；

（2）由已知可得A（，0），B（0，n），

∵函數y＝﹣x2+2|x|+3的圖象與線段AB只有一個交點，

當≤﹣3，n＜3時，∴n≤﹣6；

當＞﹣3，n≥3時，∴n≥3；

當＞3，n≤3時，n不存在；

當＜3，n≥3時，3≤n＜6；

綜上所述：n≤﹣6或3≤n＜6．