Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片 ABCD中，AB＝3，點P，Q分別是AB和CD的中點，現將這張紙片折疊，使點D落到PQ上的點G處，折痕為CH，若HG的延長線恰好經過點B，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先判斷出BG＝HG，進而判斷出∠BCG＝∠HCG，即得出∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，即：△BCH是等邊三角形，即可得出AD＝BC＝BH，在最后用勾股定理求出BH即可得出結論．

∵P，Q是矩形ABCD的邊AB，CD的中點，

∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，PQ//AD，

∵點B，G，H在同一條直線上，且點P是AB的中點，

∴BG＝HG（經過三角形一邊的中點平行于一邊的直線必平分另一邊），

由折疊知，∠CGH＝∠CGB＝∠D＝90°，

∴CH＝CB，

∵∠CGH＝90°，

∴∠BCG＝∠HCG，

由折疊知，∠DCH＝∠HCG，即：∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，

∴∠BCH＝60°，

∵CH＝CB，

∴△BCH是等邊三角形，

∴∠CBH＝60°，BC＝BH，即：AD＝BC＝BH，

在Rt△ABH中，∠ABH＝∠ABC﹣∠CBH＝30°，AB＝3，

設AH＝x，則BH＝2x，

根據勾股定理得，BH2﹣AH2＝AB2，

即：4x2﹣x2＝9，

∴x＝，

∴BH＝2x＝2，

即：AD＝BC＝BH＝2，

故答案為2．