Question

【題目】過三角形的任意兩個頂點畫一條弧，若弧上的所有點都在該三角形的內部或邊上，則稱該弧為三角形的“形內弧”．

（1）如圖，在等腰中，，．

①在下圖中畫出一條的形內弧；

②在中，其形內弧的長度最長為______．

（2）在平面直角坐標系中，點，，．點M為形內弧所在圓的圓心．求點M縱坐標的取值范圍；

（3）在平面直角坐標系中，點，點G為x軸上一點．點P為最長形內弧所在圓的圓心，求點P縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②當時，的形內弧最長，此時弧長；（2）或；（3）或．

【解析】

(1) ①根據形內弧的定義作圖即可得到答案；②根據題意得到當時，的形內弧最長，再根據弧長的計算公式即可得到答案；

(2)分兩種情況討論，當圓心在x軸下方時，此時最長形內弧與線段，相切與當圓心在x軸上方時，此時最長形內弧與x軸相切分別求解即可得到答案；

(3) 當時，最長形內弧與x軸相切，根據 得到，即，再類似討論另外幾種情況，即可得到點P縱坐標的取值范圍；

解：（1）①如下圖所作均可以：

②根據題意得到當時，的形內弧最長，此時弧長．

（2）當圓心在x軸下方時，此時最長形內弧與線段，相切

，

∴ （相似三角形對應邊成比例），

當圓心在x軸上方時，此時最長形內弧與x軸相切

，

∴ ，

∵，FO=1，FE=，

綜上所述，或

（3）當時，最長形內弧與x軸相切

若xG=-4時，

，

，

；

當時，此時最長形內弧與線段相切，

解得；

當時，此時最長形內弧與線段相切，

解得；

當時，此時最長形內弧與線段相切，

解得 ，

綜上所述，或；