Question

【題目】如圖，雙曲線y1＝與直線y2＝的圖象交于A、B兩點．已知點A的坐標為（4，1），點P（a，b）是雙曲線y1＝上的任意一點，且0＜a＜4．

（1）分別求出y1、y2的函數表達式；

（2）連接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面積；

（3）當點P在雙曲線y1＝上運動時，設PB交x軸于點E，延長PA交x軸于點F，判斷PE與PF的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線y1＝；直線為y2＝x；（2）15；（3）PE＝PF，理由見解析．

【解析】

(1)根據待定系數法即可求得；
(2)由P(，)在的圖象上，得到，再根據即可求得，根據題意求得B(，)，過點P作PQ∥y軸交AB于點G，易得G(1，)，即可求得PG=，然后根據三角形面積公式即可求得；
(3)P是雙曲線上的點，得出P(，)，然后根據待定系數法求得直線PB的解析式，進而求得E點的坐標為(，0)，同理F點的坐標為(，0)，它們到H點的距離相等，根據等腰三角形三線合一的性質即可證得PE=PF．

(1)把點A(4，1)代入雙曲線得，

∴雙曲線的解析式為；

把點A(4，1)代入直線得，

∴直線的解析式為；

(2)∵點P(，)在的圖象上，

∴，

∵，

∴，則，

∵，

∴，

∴點P的坐標為(1，4)，

又∵雙曲線與直線的圖象交于A、B兩點，且點A的坐標為(4，1)，

∴點B的坐標為(，)，

過點P作PG∥y軸交AB于點G，如圖所示，

把代入，得到，

∴點G的坐標為(1，)，

∴PG，

∴PG(；

(3)PE=PF．理由如下：

∵點P(，)在的圖象上，

∴，

∵點B的坐標為(，)，

設直線PB的表達式為，

∴，

∴，

∴直線PB的表達式為，

當時，，

∴E點的坐標為(，0)，

同理：直線PA的表達式為，

當時，，

∴F點的坐標為(，0)，

過點P作PH⊥x軸于H，如圖所示，

∵P點坐標為(，)，

∴H點的坐標為(，0)，

∴EH，

FH，

∴EH=FH，

∴PE=PF．