Question

【題目】如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過A點作AB⊥PO于點D，交⊙O于B，連接BC，PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）求證：E為△PAB的內心；

（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PO=5

【解析】

（1）連結OB，如圖1，由AC為⊙O的直徑可得∠ABC＝90°，進而得PO∥BC，然后根據平行線的性質、等腰三角形的性質和等量代換可得∠AOP＝∠POB，再根據SAS證明△AOP≌△BOP，可得∠OBP＝∠OAP，易知∠OAP＝90°，進一步即可證得結論；

（2）連結AE，如圖2，根據切線長定理可得PD平分∠APB，只要根據切線的性質和等角的余角相等證明EA平分∠PAD，然后即可根據三角形內心的概念證得結論；

（3）易得∠PAB＝∠C，然后在直角△ABC中根據余弦的定義可求出AC、OA，易證△PAO∽△ABC，進而可根據相似三角形的性質列出比例式，再代入計算即可．

解：（1）證明：連結OB，如圖1，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵AB⊥PO，

∴PO∥BC，

∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，

∴∠AOP＝∠POB，

在△AOP和△BOP中，∵OA=OB，∠AOP＝∠POB，PO=PO，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

∴∠OBP＝∠OAP，

∵PA為⊙O的切線，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∴PB是⊙O的切線；

（2）證明：連結AE，如圖2，

∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAE+∠OAE＝90°，

∵AD⊥ED，

∴∠EAD+∠AED＝90°，

∵OE＝OA，

∴∠OAE＝∠AED，

∴∠PAE＝∠DAE，

即EA平分∠PAD，

∵PA、PB為⊙O的切線，

∴PD平分∠APB，

∴E為△PAB的內心；

（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，

∴∠PAB＝∠C，

∴cos∠C＝cos∠PAB＝，

在Rt△ABC中，cos∠C＝＝，

∴AC＝，AO＝，

∵∠PAO=∠ABC=90°，∠POA=∠ACB，

∴△PAO∽△ABC，

∴，即，

解得：PO＝5．