Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．

（1）求證：該方程有兩個實數根；

（2）如果拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于A、B兩個整數點（點A在點B左側），且m為正整數，求此拋物線的表達式；

（3）在（2）的條件下，拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與y軸交于點C，點B關于y軸的對稱點為D，設此拋物線在﹣3≤x≤﹣之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個單位長度后與直線CD有公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=x2+4x+3；（3）≤n≤4；

【解析】

（1）先求出根的判別式△，判斷△的取值范圍，即可得證；

（2）根據求根公式表示出兩根，由題意，求出m的值，可得拋物線的解析式；

（3）點求出點A，B，C，D的坐標，根據待定系數法求出直線CD的解析式，設平移后，點A，E的對應點分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根據點在直線上，求出取值范圍即可．

（1）由根的判別式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2．

∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有兩個實數根；

（2）令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣．

∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且m為正整數，∴m=1，∴拋物線的解析式為：y=x2+4x+3；

（3）如圖，∵當x=0時，y=3，∴C（0，3）．

∵當y=0時，x1=﹣3，x2=﹣1．

又∵點A在點B的左側，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）．

∵點D與點B關于y軸對稱，∴D（1，0），設直線CD的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴直線CD的表達式為：y=﹣3x+3．

又∵當x=﹣時，y=，∴點E（﹣），∴平移后，點A，E的對應點分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），當直線y=﹣3x+3經過點A′（﹣3+n，0）時，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，當直線y=﹣3x+3經過點E′（﹣+n，），時，得：﹣3（﹣+n）+3=，解得：n=，∴n的取值范圍是≤n≤4．