Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點，設(shè)DP=xcm（x＞0）．當x為何值時，△PBC的周長最小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對角對應相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短，當點P在AB上時，PA+PB最小即點P與E重合時，△PBC周長最小，從而利用勾股定理分別求得AC、AF、AE、DE的長，從而就求得了x的值．

解答：（1）證明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴

AF

BC

=

AD

AB

．
∴AF•AB=BC•AD．
∵AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD．

（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分線．
∴PC=PA根據(jù)兩點之間線段最短，當點P在AB上時，PA+PB最小即點P與E重合時，△PBC周長最小．
∵∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=12．
∴AF=

1

2

AC=6．
∵AF•AB=CB•AD，即6×15=9•AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位線，
∴AE=

1

2

AB=7.5．
∴DE=

AD2+AE2

=12.5．
∴x=12.5時，△PBC周長最小．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定及線段最短問題的理解及運用．