Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”，其余條件不變，則結論AE=EF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；
（2）成立，在AB上取BH=BE，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF．

解答：（1）證明：取AB的中點H，連接EH；
∵四邊形ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

（2）解：成立．
證明：在AB上取BH=BE，連接EH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BH，
∴AH=EC，
∵∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=135°，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF．

點評：此題考查學生對正方形的性質及全等三角形判定的理解及運用，難度適中．