Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設AC=2a，BD=2b，請推導這個四邊形的性質．（至少3條）
（提示：平面圖形的性質通常從它的邊、內角、對角線、周長、面積等入手．）

Answer 1

分析：由四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設AC=2a，BD=2b，由勾股定理即可求得AB=BC=CD=AD，即可求得此四邊形的周長，對角相等，以及此四邊形的面積等于對角線乘積的一半．

解答：解：（1）∵AC與BD互相垂直平分于點O，
設AC=2a，BD=2b，
∴Rt△AOD中，AO=a，DO=b，
Rt△AOB中，AO=a，BO=b，
Rt△COD中，CO=a，DO=b，
Rt△COB中，CO=a，BO=b，
據勾股定理可得：AD=AB=BC=CD=

a2+b2

，
即：該四邊形四邊相等．

（2）由（1）可知：AD=AB=BC=CD，
∴可得C_ABCD=4AB，
即：該四邊形的周長為邊長四倍．

（3）由（1）可知；AD=AB=BC=CD，
∴∠ADO=∠ABO，∠CDO=∠CBO，
∴∠ADC=∠ABC，
同理：∠DAB=∠DCB；
即：該四邊形的對角相等．

（4）由（1）可知：S_△AOD=S_△AOE=S_△COE=S_△COD=

1

2

ab，
且AC=2a，BD=2b，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

ab×4=2ab．
即：該四邊形的面積等于對角線乘積的一半．

點評：此題考查了菱形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．