Question

【題目】特例探究：如圖①，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC邊的中點，連接BD，判斷△ABD是什么三角形，并說明理由．

歸納證明：如圖②，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC邊的中點，連接BD，把Rt△DEF的直角頂點D放在AC的中點上，DE交AB于M，DF交BC于N．證明：DM=DN．

拓展應用：在圖②，AC=4，其他條件都不發生變化，請直接寫出Rt△DEF與△ABC的重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】特例探究：△ABD是等腰直角三角形，理由見解析；歸納證明：證明見解析；拓展應用：2.

【解析】

特例探究：根據等腰直角三角形的性質和三線合一，直接證得△ABD是等腰直角三角形即可；

歸納證明：證得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；

拓展應用：由歸納證明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF與△ABC的重疊部分（四邊形DMBN的面積是△ABC面積的一半，即可得出結論．

特例探究：△ABD是等腰直角三角形．理由如下：

∵AB=BC，∠ABC=90°，∴△ABC為等腰直角三角形．

∵D為AC邊的中點，∴BD⊥AC，AD=CD=AC，BD=AC，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形．

歸納證明：∵AB=CB，∴∠A=∠C=45°．

∵D是AC的中點，∴DA=DC=BD，∠DBN=45°，BD⊥AC，∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°，∴∠A=∠DBN．

∵∠EDF=90°，∴∠BDN+∠BDM=90°，∴∠ADM=∠BDN．

在△DMA和△DBN中，∵∠ADM=∠BDN，AD=BD，∠A=∠DBN，∴△DMA≌△DNB（ASA），∴DM=DN．

拓展應用：∵AC=4，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=BC=，由歸納證明，可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），∴S四邊形DMBN=S△BDM+S△DBN==2．