Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點是D，對稱軸交x軸于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線在第四象限內的一點，過點P作PQ∥y軸，交直線AC于點Q，設點P的橫坐標是m．

①求線段PQ的長度n關于m的函數關系式；

②連接AP，CP，求當△ACP面積為時點P的坐標；

（3）若點N是拋物線對稱軸上一點，則拋物線上是否存在點M，使得以點B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出線段BN的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①n＝m2+m；②P（，﹣）；（3）存在，BN＝2或2或2

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；

（2）①AC的表達式為：y＝﹣3x﹣3，則點Q（m，﹣3m﹣3），n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；△ACP面積＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，即可求解；

（3）分BC是邊、BC是對角線兩種情況，分別求解即可．

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設點P（m，m2﹣2m﹣3），

①將點A、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AC的表達式為：y＝﹣3x﹣3，則點Q（m，﹣3m﹣3），

n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；

②連接AP交y軸于點H，

同理可得：直線AP的表達式為：y＝（m﹣3）x+m﹣3，

則OH＝3﹣m，則CH＝m，

△ACP面積＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，

解得：m＝（不合題意的值已舍去），

故點P（，﹣）；

（3）點C（0，﹣3），點B（3，0），設點P（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，點N（1，s），

①當BC是邊時，

點C向右平移3個單位向上平移3個單位得到B，

同樣點M（N）向右平移3個單位向上平移3個單位得到N（M），

即1±3＝m，s±3＝n，

解得：m＝4或﹣2，s＝2或0，

故點N（1，2）或（1，0），則BN＝2或2；

②當BC是對角線時，

由中點公式得：3＝m+1，3＝s+n，

解得：s＝6，故點N（1，6），則BN＝2，

綜上，BN＝2或2或2．