Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC至F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，則矩形AEFD的面積是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50

【解析】

（1）根據菱形的性質得到AD∥BC且AD＝BC，等量代換得到BC＝EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

（2）根據全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），求得矩形AEFD的面積＝菱形ABCD的面積，根據等腰三角形的性質得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵CF＝BE，

∴BC＝EF，

∴AD∥EF，AD＝EF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四邊形AEFD是矩形；

（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），

∴矩形AEFD的面積＝菱形ABCD的面積，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AC＝10，

∴AO＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，

∴矩形AEFD的面積＝菱形ABCD的面積＝×10×10＝50，

故答案為：50．