Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點P的坐標為（1，-

4 3

3

），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，-

3

）．
（1）求拋物線的表達式．
（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由．
（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小？若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意知

- b 2a =1 4ac-b2 4a =- 4 3 3 c=- 3

，
解得：a=

3

3

，b=-

2 3

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）設點A（x₁，0），B（x₂，0），則y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB=

OB

OC

=

3

∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋轉性質可知AC=BD，BC=AD，
∴四邊形ADBC是平行四邊形
又∵∠ACB=90°．
∴四邊形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延長BC至N，使CN=CB．
假設存在一點F，使△FBD的周長最小．
即FD+FB+DB最小．
∵DB固定長．∴只要FD+FB最小．
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴當N、F、D在一條直線上時，FD+FB最小．
又∵C為BN的中點，
∴FC=

1

2

AC（即F為AC的中點）．
又∵A（-1，0），C（0，-

3

）
∴點F的坐標為F（-

1

2

，-

3

2

）
答：存在這樣的點F（-

1

2

，-

3

2

），使得△FBD的周長最小．