Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分別是AB，CD的中點，M是BC上一動點，AM，DM分別交EF于點G，H，連接CH．
（1）試判斷GH是否為定值，并證明你的結論；
（2）當點M為BC的中點時，求證：四邊形GMCH是平行四邊形；
（3）試探究：在（2）的條件下，當a，b滿足什么數量關系時，四邊形GMCH是菱形？（不必證明，直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（1）解：GH=b，是定值，
理由：∵E，F分別是AB，CD的中點，
∴AE∥DF且AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF∥BC，
∴==，
∴AG=MG，DH=MH，
∴GH=AD=b，是定值；
（2）證明：∵點M為BC的中點，
∴MC=BC=b，
∵GH=b，
∴GH=CM，
又∵GH∥CM，
∴四邊形GMCH是平行四邊形；
（3）解：a=b時，四邊形GMCH是菱形．
【解析】所有
（1）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形AEFD是平行四邊形，進而利用平行四邊形的性質得出答案；
（2）利用平行四邊形的判定方法一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出即可；
（3）利用當a=b時，由題意得出MC=BM=b，AM=b，則MG=b，進而利用（2）中所求得出答案．
【考點精析】關于本題考查的菱形的判定方法，需要了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．