Question

【題目】如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC平分∠BAD，求證：ABCD為菱形．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ABCD為菱形．

【解析】（1）首先證明△ADF≌△CBE，根據全等三角形的性質可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，進而可得證明AD∥CB，根據一組對邊平行且等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）首先根據角平分線的性質可得∠DAC=∠BAC，進而可得出AB=BC，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的判定方法(任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形)．