Question

【題目】已知：如圖，點D是△ABC中BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點EF，且BF＝CE．

（1）求證：Rt△BDF≌Rt△CDE

（2）問：△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）當△ABC滿足∠A＝90°（答案不唯一）時，四邊形AEDF是正方形，理由見解析

【解析】

（1）先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE即可；
（2）由已知可證明四邊形AEDF是矩形，由全等三角形的性質得出DE=DF，即可得出結論．

∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF=∠CED=90°
∵點D是△ABC中BC邊上的中點，
∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中， ，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：當△ABC滿足∠A=90°（答案不唯一）時，四邊形AEDF是正方形；理由如下：
∵∠BDF=∠CED=90°，∠A=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DE=DF，
∴四邊形AEDF是正方形．