Question

【題目】在平面直角坐標系上，已知點 A（8，4），AB⊥y軸于 B，AC⊥x軸于 C，直線 y＝x交 AB于 D．

（1）如圖 1，若 E 為 OD 延長線上一動點，當△BCE 的面積,S△BCE＝20 時，過點 E 作 EF⊥AB于 F，點 G、H 分別為 AC、CB 上動點，求 FG+GH 的最小值及點 G 的坐標．

（2）如圖 2，直線 BC 與 DE 交于點 M，作直線 MN∥y 軸，在（1）的條件下，將△DEF 沿 DE方向平移 個單位得到△D′E′F′，在直線 MN 上是否存在點 P 使得△BF′P 為等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為，G（8,0）；

（2）存在，滿足條件的P點有五個，坐標為：或或，理由見解析.

【解析】

（1）先分別求得A、B、C三點坐標，根據直線y=x交AB于D，可求D點坐標，設，根據S△BCE＝20可求得E點坐標，由此可求得F點坐標，作點F關于直線AC的對稱點F'，作F'H⊥BC于H，可得F'H即為FG+GH 的最小值，證明，借助相似的性質可求F'H的長度，借助勾股定理求得，由此得出G點與C點重合，即可得出G點坐標；

（2）求出平移后F'坐標，證明△BMD∽△CMO，由此可求得M點坐標，即可得出P點橫坐標，設，利用距離公式分別表示,利用它們兩兩相等分三種情況討論即可.

（1）∵AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C，

∴∠ABO=∠ACO=∠COB=90°，

∴四邊形ABOC是矩形，

∵A(8,4)，

∴AB=OC=8，AC=OB=4，

∴B(0,4)，C(8,0)，

∵直線y=x交AB于D，

∴∠BOD=45°，

∴OB=DB=4，

∴D(4,4)．

設

當S=20時，20=6a16，
解得a=6，

∴E(6,6)，

∵EF⊥AB于F，

∴F(6,4)，

如下圖，作點F關于直線AC的對稱點F'，作F'H⊥BC于H，交AC于G.此時FG+GH的值最小．

在中，根據勾股定理

因此H、C、G三點重合，G（8,0）

的最小值為，G（8,0）；

（2）如下圖：作于K,由題意得

∵四邊形ABOC為矩形

∴AB//OC

∴∠EDA=∠EOA=45°

∴為等腰直角三角形，

又

∴

∴△DEF向右平移一個單位，向上平移一個單位得到△D′E′F′

∵F(6,4)

∴F′（7,5）

∵AB//OC

∴△BMD∽△CMO

∴

又∵HM+MN=OB=4

∴MN=，即

設P點坐標為，

,

，

，

①若,則即

解得，

②若則即

解得

③若則即

解得

綜上滿足條件的P點有五個，坐標為：或或.