Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），頂點B在x軸的負半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，線段OC的垂直平分線分別交OC，BC于點D，E．

（1）點C的坐標；

（2）點P為線段ED的延長線上的一點，連接PC，PA，設點P的橫坐標為t，△ACP的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F為線段BC的延長線上一點，連接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度數．

Answer 1

【答案】（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°.

【解析】

（1）根據直角三角形30度角的性質分別計算AB和AC的長，可得OC的長，寫出點C的坐標；

（2）根據三角形面積公式得：S△ACP=×AC×DP=×4×t=2t；

（3）如圖3，過點O作OH⊥BC于H，證明Rt△OHF≌Rt△ODP，得∠HFO=∠DPO，再證明△FOP是等邊三角形，則∠OFP=60°．

（1）∵∠ABC＝90°，

∴∠CBO+∠ABO＝90°，

∵∠CBO+∠ACB＝90°，

∴∠ABO＝∠ACB，

∴∠ACB＝30°，

∴∠ABO＝30°，

在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA，

在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，

∴AC＝2AB，

∵A（0，﹣1），

∴OA＝1，

∴AB＝2，AC＝4，

∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3，

∴C（0，3）；

（2）∵DE所在直線為線段OC的垂直平分線，

∴PD⊥OC，

∵點P的橫坐標為t，

∴PD＝t，

∵AC＝4，

∴S△ACP＝＝2t，

即S＝2t；

（3）如圖3，過點O作OH⊥BC于H，連接OP，

在Rt△CHO中，∵∠HCO＝30°，

∴OH＝OC，

∵OD＝OC，

∴OH＝OD，

∵PE所在直線為線段CD的垂直平分線，

∴PC＝PO，

∴OF＝CP，

∴PO＝FO，

在Rt△OHF和Rt△ODP中，

∵，

∴Rt△OHF≌Rt△ODP（HL），

∴∠HFO＝∠DPO，

∴∠FEP+∠HFO＝∠FOP+∠DPO，

∴∠FEP＝∠FOP，

∵∠FEP＝60°，

∴∠FOP＝60°，

∴△FOP是等邊三角形，

∴∠OFP＝60°．