Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F，且∠MAN始終保持45°不變．

（1）求證： = ；
（2）求證：AF⊥FM；
（3）請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四點共圓，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM= AF，

（2）

證明：由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM

（3）

結論：∠BAM=22.5時，∠FMN=∠BAM

理由：

∵A、B、M、F四點共圓，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴ ，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．

【解析】（1）先證明A、B、M、F四點共圓，根據圓內接四邊形對角互補即可證明∠AFM=90°，根據等腰直角三角形性質即可解決問題．（2）由（1）的結論即可證明．（3）由：A、B、M、F四點共圓，推出∠BAM=∠EFM，因為∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到 ，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問題．本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形性質、四點共圓、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用四點共圓的性質解決問題，題目有點難，用到四點共圓．