Question

【題目】為倡導節能環保，降低能源消耗，提倡環保型新能源開發，造福社會．某公司研發生產一種新型智能環保節能燈，成本為每件40元．市場調查發現，該智能環保節能燈每件售價y（元）與每天的銷售量為x（件）的關系如圖，為推廣新產品，公司要求每天的銷售量不少于1000件，每件利潤不低于5元．

（1）求每件銷售單價y（元）與每天的銷售量為x（件）的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設該公司日銷售利潤為P元，求每天的最大銷售利潤是多少元？

（3）在試銷售過程中，受國家政策扶持，毎銷售一件該智能環保節能燈國家給予公司補貼m（m≤40）元．在獲得國家每件m元補貼后，公司的日銷售利潤隨日銷售量的增大而增大，則m的取值范圍是　 　（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）函數關系式為y＝﹣x+70，自變量x的取值范圍1000≤x≤2500；（2）每天的最大銷售利潤是22500元；（3）m的取值范圍是：20≤m≤40．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

（3）構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

解：（1）設每件銷售單價y（元）與每天的銷售量為x（件）的函數關系式為y＝kx+b，

把（1500，55）與（2000，50）代入y＝kx+b得，

，

解得：，

∴每件銷售單價y（元）與每天的銷售量為x（件）的函數關系式為y＝﹣x+70，

當y≥45時，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，

∴自變量x的取值范圍1000≤x≤2500；

（2）根據題意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣1500）2+22500，

∵﹣＜0，P有最大值，

當x＜1500時，P隨x的增大而增大，

∴當x＝1500時，P的最大值為22500元，

答：每天的最大銷售利潤是22500元；

（3）由題意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，

∵對稱軸為x＝50（30+m），

∵1000≤x≤2500，

∴x的取值范圍在對稱軸的左側時P隨x的增大而增大，

50（30+m）≥2500，

解得：m≥20，

∴m的取值范圍是：20≤m≤40．

故答案為：20≤m≤40．