Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，如圖，AB=12，BC=4．BH與⊙O相切于點B，過點C作BH的平行線交AB于點E．

（1）求CE的長；

（2）延長CE到F，使EF=，連接BF并延長BF交⊙O于點G，求BG的長；

（3）在（2）的條件下，連接GC并延長GC交BH于點D，求證：BD=BG．

Answer 1

【答案】(1) CE=4；（2）BG=8；（3）詳見解析.

【解析】

（1）只要證明△ABC∽△CBE，可得，由此即可解決問題；
（2）連接AG,只要證明△ABG∽△FBE，可得，由BE＝＝4，再求出BF，即可解決問題；
（3）通過計算首先證明CF＝FG，推出∠FCG＝∠FGC，由CF∥BD，推出∠GCF＝∠BDG，推出∠BDG＝∠BGD即可證明．

解：（1）∵BH與⊙O相切于點B，

∴AB⊥BH，

∵BH∥CE，

∴CE⊥AB，

∵AB是直徑，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∵∠CBE=∠ABC，

∴△ABC∽△CBE，

∴=，

∵AC==4，

∴CE=4．

（2）連接AG．

∵∠FEB=∠AGB=90°，∠EBF=∠ABG，

∴△ABG∽△FBE，

∴=，

∵BE==4，

∴BF==3，

∴=，

∴BG=8．

（3）易知CF=4+=5，

∴GF=BG﹣BF=5，

∴CF=GF，

∴∠FCG=∠FGC，

∵CF∥BD，

∴∠GCF=∠BDG，

∴∠BDG=∠BGD，

∴BG=BD．