Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=與y=（x＞0，0＜m＜n）的圖象上，對(duì)角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點(diǎn)P．已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4．

（1）當(dāng)m=4，n=20時(shí)．

①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．

②若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由．

（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時(shí)m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①直線AB的解析式為y=﹣x+3；理由見(jiàn)解析；②四邊形ABCD是菱形，（2）四邊形ABCD能是正方形，理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）①先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

②先確定出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而確定出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出PA，PC，即可得出結(jié)論；

（2）先確定出B（4，），進(jìn)而得出A（4-t，+t），即：（4-t）（+t）=m，即可得出點(diǎn)D（4，8-），即可得出結(jié)論．

（1）①如圖1，

∵m=4，

∴反比例函數(shù)為y=，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，

∴B（4，1），

當(dāng)y=2時(shí)，

∴2=，

∴x=2，

∴A（2，2），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+3；

②四邊形ABCD是菱形，

理由如下：如圖2，

由①知，B（4，1），

∵BD∥y軸，

∴D（4，5），

∵點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，

∴P（4，3），

當(dāng)y=3時(shí)，由y=得，x=，

由y=得，x=，

∴PA=4-=，PC=-4=，

∴PA=PC，

∵PB=PD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵BD⊥AC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）四邊形ABCD能是正方形，

理由：當(dāng)四邊形ABCD是正方形，

∴PA=PB=PC=PD，（設(shè)為t，t≠0），

當(dāng)x=4時(shí)，y==，

∴B（4，），

∴A（4-t，+t），

∴（4-t）（+t）=m，

∴t=4-，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為+2t=+2（4-）=8-，

∴D（4，8-），

∴4（8-）=n，

∴m+n=32．