Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．

(1)求證：△ABM≌△DCM；

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；

(3)當AD∶AB＝__________時，四邊形MENF是正方形(只寫結論，不需證明)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形MENF是菱形．（3）2：1．

【解析】試題分析：（1）根據SAS即可證明△ABM≌△DCM；（2）由（1）得出BM=CM，再根據三角形的中位線定理得出EN=MF，EM=FN，先證四邊形MENF是平行四邊形，再證ME＝MF，從而可得平行四邊形MENF是菱形；（3）當AD∶AB＝2∶1時，四邊形MENF是正方形．可以利用正方形的性質得到MA=AB=MD，從而確定AD：AB的值．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M為AD中點，∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

答：四邊形MENF是菱形．

證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，

∴NE∥CM，，

∴NE＝FM，NE∥FM，∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分別是BM、CM的中點，

∴ME＝MF，

∴平行四邊形MENF是菱形；

解：當AD∶AB＝2∶1時，四邊形MENF是正方形．理由是：

∵四邊形MENF是正方形，

∴∠EMF=90°，

由（1）知：Rt△ABM≌Rt△DCM（SAS），

∴∠AMB=∠DMC=45°，

此時MA=MD=DC，

∴AD=2DC，即AD∶AB＝2∶1．