Question

【題目】已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．

（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ， 衍生直線的解析式是；
（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；
（3）如圖，設（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3
（2）

解：∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點，

∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯立，得 ，

解得 或 ，

∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為（0，1），

∴原拋物線的頂點為（1，﹣1）．

設原拋物線為y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1過（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1．

（3）

解：∵N（0，﹣3），

∴MN繞點N旋轉到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，

∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2．

設點P坐標為（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①當OM2=OP2+MP2時，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x= 或x= ，即P（ ，﹣2）或P（ ，﹣2）．

②當OP2=OM2+MP2時，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③當MP2=OP2+OM2時，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

綜上所述，當P為（ ，﹣2）或（ ，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時，△POM為直角三角形．

【解析】解：（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過（0，﹣3），
∴設其衍生拋物線為y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點（1，﹣4），
∴﹣4=a1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3．
設衍生直線為y=kx+b，
∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），
∴ ，
∴ ，
∴衍生直線為y=﹣x﹣3．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．