Question

如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，－3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？
（3）探究軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y = x²－2x－3, D的坐標為（2）是直角三角形,理由見解析（3）P₁（0，0），P₂（9，0）

解：（1）設該拋物線的解析式為，
由拋物線與y軸交于點C（0，－3）,可知. （1分）
即拋物線的解析式為．                
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 
解得.（3分）∴ 拋物線的解析式為y = x²－2x－3．  
∴ 頂點D的坐標為（4分）.（設為交點式參照給分）
（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形. （5分）理由如下：
過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴ . 
∴ ， 故△BCD為直角三角形.（7分）      
（3）符合條件的點有二個：P₁（0，0），P₂（9，0）.
（1）利用待定系數法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函數解析式即可；利用配方法直接求出頂點坐標即可；
（2）過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F;根據勾股定理的逆定理進行解答
（3）根據相似三角形的判定方法分別得出即可