Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當=O和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是3，另一點是這條拋物線的頂點M。

(1)求這條拋物線的解析式；
(2)P為線段OM上一點，過點P作PQ⊥軸于點Q。若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
(3)隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；
(4)隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。

Answer 1

（1）（2）S=2t²+4t,＜≤（3）點在線段的中點上，16，平行四邊形（4）

解：（1）∵當和時，的值相等，∴，……1分
∴，∴
將代入，得，
將代入，得………………………………………….2分
∴設拋物線的解析式為
將點代入，得，解得.
∴拋物線，即……………………………..3分
(2)設直線OM的解析式為，將點M代入，得，
∴……………………………………………………………………..4分
則點P,,而,.
=.......................5分
的取值范圍為：＜≤.......................................6分
（1）隨著點的運動，四邊形的面積有最大值.

從圖像可看出，隨著點由→運動，的面積與的面積在不斷增大,即不斷變大，顯當然點運動到點時，有最值...............7分
此時時，點在線段的中點上............. ................8分
因而.
當時，,∥,∴四邊形是平行四邊形. ..9分
(4)隨著點的運動，存在，能滿足.................10分
設點，，. 由勾股定理，得.
∵,∴，＜，(不合題意)
∴當時，...................................11分
（1）x=O和x=4時，y的值相等，即可得到函數的對稱軸是x=2，把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個點的坐標，并且其中一點是頂點，利用待定系數法，設出函數的頂點式一般形式，就可以求出函數的解析式；
（2）根據待定系數法可以求出直線OM的解析式，設OQ的長為t，即P，Q的橫坐標是t，把x=t代入直線OM的解析式，就可以求出P點的縱坐標，得到PQ的長，四邊形PQCO的面積S=S_△COQ+S_△OPQ，很據三角形的面積公式就可以得到函數解析式；
（3）從圖象可看出，隨著點P由O→M運動，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當然點P運動到點M時，S最值；
（4）在直角△OPQ中，根據勾股定理就可以求出點P的坐標．