Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)兩點，記拋物線頂點為C，且AC⊥BC．
(1)若m為常數，求拋物線的解析式；
(2)若m為小于0的常數，那么(1)中的拋物線經過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點？
(3)設拋物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)設拋物線的解析式為：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)²－4a．   
∵AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，
∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式為：y＝(x－m)²－2．       
(2)∵m為小于零的常數，∴只需將拋物線向右平移－m個單位，再向上平移2個單位，可以使拋物線y＝(x－m)²－2頂點在坐標原點．                
(3)由(1)得D(0，m²－2)，設存在實數m，使得△BOD為等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，當m＋2＞0時，解得m＝4或m＝－2(舍)．
當m＋2＜0時，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
當m＋2＝0時，即m＝－2時，B、O、D三點重合(不合題意，舍)
綜上所述：存在實數m＝4，使得△BOD為等腰三角形．  

(1)先根據兩點式設出拋物線的解析式，因為AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，從而得到C點坐標為（m，－2）代入得a＝．即得拋物線解析式．
(2)根據“左加右減，上加下減”的特征即可得到平移的方法．
(3)由(1)得D(0，m²－2)，設存在實數m，使得△BOD為等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，當m＋2＞0時，解得m＝4或m＝－2(舍)．
當m＋2＜0時，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
當m＋2＝0時，即m＝－2時，B、O、D三點重合(不合題意，舍)
綜上所述：存在實數m＝4，使得△BOD為等腰三角形．