Question

【題目】如圖1，過(guò)點(diǎn)A（0，4）的圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC⊥AC，拋物線經(jīng)過(guò)C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ， ），拋物線的表達(dá)式為 .

（2）如圖2，求證：BD//AC；

（3）如圖3，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點(diǎn)P，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）（6，2）（2）見解析（3）8

【解析】

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC與△CEB中，

∴△AOC≌△CEB（AAS），則

CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，

∴B（6，2）．

將B（6，2），C（2，0）代入，得

，解得．

∴拋物線的表達(dá)式為．

（2）證明：令，即，解得x=2或x=7．

∴D（7，0）．

如下圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

則DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：；

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

在△BCD中，BC =，BD=，CD=5．

∴．

∴∠CBD=90°，即BD⊥BC．

又∵ AC⊥BC，∴BD//AC．

（3）連接AB，BP，

∵AC⊥BC，BC=AC=，

∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，∠APB=∠ACB=45°，AB=．

∴∠ABQ=∠APB．

又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB．

∴，即，解得AP=8．