Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）為拋物線上的一個動點，點關于原點的對稱點為.當點落在該拋物線上時，求的值；

（3）是拋物線上一動點，連接，以為邊作圖示一側的正方形，隨著點的運動，正方形的大小與位置也隨之改變，當頂點或恰好落在軸上時，求對應的點坐標.

Answer 1

【答案】（1）.（2）或.（3）點的坐標為，，

，.

【解析】

（1）將和點代入解析式解方程即可；

（2）將的坐標表示，把坐標代入解析式求m即可；

（3）利用正方形性質和一線三直角幾何模型，找到全等三角形，根據直角邊解方程即可.

（1）∵拋物線經過點和點.

得，解得

∴拋物線的解析式為.

（2）∵與關于原點對稱，

∴的坐標為.

∵，都在拋物線上，

∴，.

∴.

解得或.

（3）當點落在軸上時，

如圖1，過點作軸于點，

∵四邊形是正方形，

∴，.

∴.

∵，

∴.

∴.

又，

∴.

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點坐標為.

如圖2，過點作軸于點，

同理可以證得，

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點坐標為.

當點落在軸上時，

如圖3，過點作軸于點，過點作于點，

同理可以證得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點坐標為.

如圖4，過點作軸于點，過點作，交的延長線于點，

同理可以證得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點坐標為.

綜上所述，點的坐標為，，

，.