Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與軸、軸分別交于點和點，拋物線經過點，且與直線的另一個交點為．

（1）求的值和拋物線的解析式；

（2）點在拋物線上，且點的橫坐標為（）．軸交直線于點，點在直線上，且四邊形為矩形（如圖2），若矩形的周長為，求與的函數關系式以及的最大值；

（3）是平面內一點，將繞點沿逆時針方向旋轉后，得到，點、、的對應點分別是點、、．若的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），拋物線的解析式為；（2），有最大值；（3）點的橫坐標為或．

【解析】

（1）把點B的坐標代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標代入直線求解即可得到n的值，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）令y=0求出點A的坐標，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關系式，再利用二次函數的最值問題解答；
（3）根據逆時針旋轉角為90°可得A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，然后分①點O1、B1在拋物線上時，表示出兩點的橫坐標，再根據縱坐標相同列出方程求解即可；②點A1、B1在拋物線上時，表示出點B1的橫坐標，再根據兩點的縱坐標相差A1O1的長度列出方程求解即可．

（1）∵直線：經過點，

∴，

∴直線的解析式為，

∵直線：經過點，

∴，

∵拋物線經過點和點，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）令，則，解得，

∴點的坐標為，

∴，

在中，，

∴，

∵軸，

∴，

在矩形中，，

，

∴，

∵點的橫坐標為（），

∴，，

∴，

∴，

∵，且，

∴當時，有最大值；

（3）∵繞點沿逆時針方向旋轉，

∴軸時，軸，設點的橫坐標為，

①如圖1，點、在拋物線上時，點的橫坐標為，點的橫坐標為，

∴，

解得，

②如圖2，點、在拋的線上時，點的橫坐標為，點的縱坐標比點的縱坐標大，

∴，

解得，

綜上所述，點的橫坐標為或．