Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，將BD繞點B逆時針旋轉30°到BE所在的位置，BE與AD交于點F，分別連接DE、CE．

（1）求證：DE=DF；
（2）求證：AE∥BD；
（3）求tan∠ACE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BD繞點B逆時針旋轉30°到BE，

∴∠DBE=30°，BD=BE，

∴∠BDE=∠BED= =75°，

在正方形ABCD中，BD是對角線，

∴∠ADB=45°，

∴∠EDF=75°﹣45°=30°，

在△DEF中，∠DFE=180°﹣∠EDF﹣∠FED=180°﹣30°﹣75°=75°，

∴∠DFE=∠DEF，

∴DE=DF

（2）

證明：過E作EG⊥BD于點G，

∵∠DBE=30°，

∴EG= BE= BD，

在正方形ABCD中，AC、BD是對角線，

∴AC=BD，OA= AC= BD，AC⊥BD，

∴EG=OA，且EG∥OA，

∴四邊形AOGE是平行四邊形，

∵∠AOD=90°，

∴四邊形AOGE是矩形，

∴AE∥BD：

（3）

設EG=x，則BE=BD=AC=2EG=2x，

Rt△BEG中，BG= = x，

∴OG=BG﹣BO=（ ﹣1）x，

在矩形AOGE中，∠EAO=90°

∴AE=OG=（ ﹣1）x，

∴tan∠ACE= = ．

【解析】（1）先根據旋轉的性質得∠DBE=30°，BD=BE，求∠BDE=∠BED=75°，則∠EDF=75°﹣45°=30°，根據三角形的內角和得：∠DFE=75°，所以∠DFE=∠DEF，由等角對等邊得結論；（2）如圖所示，作輔助線，構建直角三角形，根據直角三角形30°角的性質得：EG= BE= BD，由正方形的性質得：AC=BD，OA= AC= BD，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AOGE是平行四邊形，則AE∥BD；（3）證明四邊形AOGE是矩形，設EG=x，由勾股定理得：BG= = x，由矩形AOGE可知：∠EAO=90°，計算tan∠ACE的值即可．
【考點精析】利用三角形三邊關系和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．