Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣ x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣ ），與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線l∥AB且過點(diǎn)D．

（1）求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）請(qǐng)你判斷△ABD的形狀并證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)且與點(diǎn)A、D不重合，點(diǎn)F在直線l上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF=60°，連接BF，求出△BEF面積的最小值．
解：

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，﹣ ）代入拋物線解析式，得c=﹣ ，

∴y= x2﹣ x﹣ ，

當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣ x﹣ =0化簡，得

x2﹣2x﹣3=0，

∵（x+1）（x﹣3）=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

點(diǎn)B（﹣1，0），點(diǎn)C（3，0），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，解得 ，

直線AB的解析式為y=﹣ x﹣

（2）

解：△ABD是等邊三角形，

∵點(diǎn)B（﹣1，0），點(diǎn)D（1，0），

∴OB=OD=1，

在△BOA和△DOA中， ，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA．

tan∠ABO= = = ，

∴∠ABO=60°，

∴△ABD是等邊三角形

（3）

如圖

，

過點(diǎn)E作EG∥x軸，交AB于點(diǎn)G，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG是等邊三角形，

∴AE=AG，∴DE=BG．

∵AB∥l，

∴∠EDF=∠BGE=120°，

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF，

在△BEG和△EFD中 ，

∴△BEG≌△EFD，

∴BE=EF，

∵∠BEF=60°，

∴△BEF是等邊三角形，

∴S△BEF= BE2，當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE的長度最小，△BEF的面積最小，

此時(shí)BE=ABsin60°= ，

S△BEF最小= BE2=

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BA與DA，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得∠ABO，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AEG=∠AGE=60°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BE=EF，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△BEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的面積，根據(jù)垂線段最短，可得BE的長，可得答案．