Question

【題目】若 a、b、c 為△ABC 的三邊，且滿足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．點 D 是 AC邊的中點，以點 D 為頂點作∠FDE＝120°，角的兩邊分別與直線 AB 和 BC 相交于點 F 和點 E

（1）試判斷△ABC 的形狀，說明理由

（2）如圖 1，將△ABC 圖形中∠FDE＝120°繞頂點 D 旋轉，當兩邊 DF、DE 分別與邊 AB 和射線BC 相交于點 F、E 時，三線段 BE、BF、AB 之間存在什么關系？證明你的結論

（3）如圖 2，當角兩邊 DF、DE 分別與射線 AB 和射線 BC 相交兩點 F、E 時，三線段 BE、BF、AB 之間存在什么關系

Answer 1

【答案】(1) △ABC為等邊三角形,理由見詳解；（2）3AB=2(BE+BF)，證明見詳解；

（3）3AB=2(BE-BF).

【解析】

(1) a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式兩邊同時乘以2,可得，可得△ABC為等邊三角形；

（2）連接BD，過D點作DG⊥BC，延長BG至H點，使得BG=GH，可證得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE+EH，可得BE、BF、AB 之間的關系；

（3）同理連接BD，過D點作DG⊥BC，延長BG至H點，使得BG=GH，可證得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE-EH，可得BE、BF、AB 之間的關系；

解：（1）由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式兩邊同時乘以2，可得

2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，可得a2＋b2-2ab+ b2 +c2-2bc+ b2+c2-2ac=0

，a=b=c，

△ABC為等邊三角形;

(2) 如圖：

連接BD，，過D點作DG⊥BC，延長BG至H點，使得BG=GH，

易得DG為線段BH點的中垂線，BD=DH

易得∠DBC=∠ABD=30，∠H=30，∠BDH=120,

∠FDE＝120°,∠BDE為∠FDE與∠BDH的公共角

∠BDF＝∠EDH,

在△BDF與△EDH中，

∠ABD=∠H ；BD=DH；∠BDF＝∠EDH

△BDF≌△HDE

BF=EH,

又AD=DC=AC=AB, ∠ACB=60 GC=DC=AB,

BG= AB -AB=AB

BG=GH, BH=BE+EH,

2 AB=BE+EH, AB= BE+BF，

即：3AB=2(BE+BF);

(3)如圖：

同理連接BD，，過D點作DG⊥BC，延長BG至H點，使得BG=GH，

易得DG為線段BH點的中垂線，BD=DH

可得△BDF≌△HDE

BF=EH

可得：BH=BE-EH， AB= BE-BF，

即3AB=2(BE-BF).