Question

【題目】如圖，在ABCD中 過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F為BE上一點，且∠AFE=∠D．

（1）求證：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根據勾股定理得：BE= ,
在Rt△ADE中，AE=ADsinD=5× =4，∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，∴ ，即 ，解得：AF=2
【解析】由平行四邊形的性質得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結論；
由三角函數求出AE，由勾股定理求出BE，再由相似三角形的性質求出AF的長．