Question

【題目】如圖，在正方形中，點分別在和上，.

(1)求證：.

(2)連接交于點，延長至點，使，連接，.求證：四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“SAS”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF；

（2）求出CE=CF，然后利用“邊邊邊”證明△AEC和△AFC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EAC=∠FAC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC垂直平分EF，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EM=FM，再判斷出EF垂直平分AM，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AE=EM，然后根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

證明：(1)在正方形中，

，

在和中，

(全等三角形的對應邊相等)

(2)，

，即

在和中，

又

垂直平分(等腰三角形三線合一)

又

四邊形是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

四邊形是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)