Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC邊上的一個動點，（不與B、C重合）在AC邊上取一點E，使∠ADE=45°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y．

①求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；

②求y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②1

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠B＝∠C＝45°，根據三角形的外角性質得到∠BAD＝∠EDC，根據相似三角形的判定定理證明結論；

（2）①根據相似三角形的性質列出比例式，代入計算得到y關于x的函數關系式；

②根據二次函數的性質計算即可．

（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45°+∠2，

∴∠1=∠2．

∴△ABD∽△DCE．

（2）解：①∵△ABD∽△DCE，

∴．

∵AB=AC=2，BD=x，AE=y，

∴，，．

∴．

∴．

② ∵，

∴y的最小值是1．