Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在AD邊上運動，從點A出發向點D運動，到達D點停止運動．作射線CE，并將射線CE繞著點C逆時針旋轉45°，旋轉后的射線與AB邊交于點F，連接EF

（1）依題意補全圖形；

（2）猜想線段DE，EF，BF的數量關系并證明；

（3）過點C作CG⊥EF，垂足為點G，若正方形ABCD的邊長是4，請直接寫出點G運動的路線長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF=DE+BF，見解析；（3）2π

【解析】

（1）依題意補全圖形即可；

（2）延長AD到點H，使DH＝BF，連接CH，證明△CDH≌△CBF（SAS）．得出CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．證明△ECH≌△ECF（SAS）．得出EH＝EF．即可得出結論；

（3）確定點G的運動軌跡，利用弧長公式計算即可．

解：（1）補全圖形如圖1．

（2）線段DE，EF，BF的數量關系是 EF=DE+BF

證明：延長AD到點H，使DH=BF，連接CH（如圖2）．

易證△CDH≌△CBF．

∴CH= CF，∠DCH=∠BCF．

∵∠ECF=45°，

∴∠ECH=∠ECD+∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°．

∴∠ECH=∠ECF=45°．

又∵CE= CE，

∴△ECH≌△ECF．

∴EH= EF．

∴EF=DE+BF．

（3）點G運動的路線長為2π